Eneforældremyndighed?

Hej piger,
Vi er nu igang med en faderskabstes, og derfor har jeg nu eneforældremyndighed.
Talte med vores sundhedsplejerske idag, og hun mente at det var mest optimalt at jeg beholdte den, når det var anerkendt at Carolines far, er far. Han har været på tværs fra jeg var i 4 måned, og vil have en faderskabstest, for at udsætte at skulle betalte børnepenge.
(Vi har fået lavet en faderskabstest privat, da han ikke mente hun var hans, hvilket der ikke har været tvilv om.)

Nå men nu til mine spørgsmål?
Hvordan kommer det til at foregå i statsforvaltningen? Hvad taler man om til mødet? Hvad skal der til at at få eneforældremyndighed? Har han pligt til at betale børnebidrag hvis det kun er mig der har forældremyndigheden?